Luas permukaan benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x³, 0 ≤ y ≤ 1 jika diputar terhadap sumbu y adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{\frac{6}{35}\pi\left ( 925\sqrt{10}-2916 \right )~satuan~luas} }[/tex].
PEMBAHASAN
Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.
[tex]\displaystyle{f(x)=\int\limits {\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]} \, dx}[/tex]
Salah satu fungsi dari integral adalah untuk menghitung luas permukaan benda putar.
1. Jika diputar terhadap sumbu x : [tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{x_2}_{x_1} {y\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}} \, dx }[/tex]
2. Jika diputar terhadap sumbu y : [tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{y_2}_{y_1} {x\sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^2}} \, dy }[/tex]
.
DIKETAHUI
Suatu daerah dibatasi oleh y = x³, 0 ≤ y ≤ 1 diputar terhadap sumbu y.
.
DITANYA
Tentukan luas permukaannya.
.
PENYELESAIAN
[tex]y=x^3[/tex]
[tex]\displaystyle{x=y^{\frac{1}{3}} }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{dx}{dy}=\frac{1}{3}y^{\frac{1}{3}-1} }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{dx}{dy}=\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}} }[/tex]
.
Karena diputar terhadap sumbu y, kita gunakan rumus no 2.
[tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{y_2}_{y_1} {x\sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^2}} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^1_0 {y^{\frac{1}{3}}\sqrt{1+\left ( \frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}} \right )^2}} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^1_0 {y^{\frac{1}{3}}\sqrt{1+\frac{1}{9}y^{\frac{4}{9}}}} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^1_0 {y^{\frac{1}{3}}\sqrt{\frac{1}{9}(9+y^{\frac{4}{9}})}} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=\frac{2}{3}\pi\int\limits^1_0 {y^{\frac{1}{3}}\sqrt{9+y^{\frac{4}{9}}}} \, dy }[/tex]
[tex]---------------[/tex]
Misal :
[tex]u=y^{\frac{4}{9}}[/tex]
[tex]\displaystyle{du=\frac{4}{9}y^{\frac{4}{9}-1}dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{du=\frac{4}{9}y^{-\frac{5}{9}}dy }[/tex]
Untuk [tex]y=0~\to~u=(0)^{\frac{9}{4}}=0[/tex]
Untuk [tex]y=1~\to~u=(1)^{\frac{9}{4}}=1[/tex]
[tex]---------------[/tex]
[tex]\displaystyle{A=\frac{2}{3}\pi\int\limits^1_0 {y^{\frac{1}{3}}\sqrt{9+u}} \, \frac{9du}{4y^{-\frac{5}{9}}} }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=\frac{3}{2}\pi\int\limits^1_0 {y^{(\frac{1}{3}+\frac{5}{9})}\sqrt{9+u}} \, du }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=\frac{3}{2}\pi\int\limits^1_0 {y^{\frac{8}{9}}\sqrt{9+u}} \, du }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=\frac{3}{2}\pi\int\limits^1_0 {(u^{\frac{9}{4}})^{\frac{8}{9}}\sqrt{9+u}} \, du }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=\frac{3}{2}\pi\int\limits^1_0 {u^2\sqrt{9+u}} \, du }[/tex]
[tex]---------------[/tex]
Misal :
[tex]v=\sqrt{9+u}[/tex]
[tex]v^2=u+9[/tex]
[tex]2vdv=du[/tex]
.
Untuk [tex]u=0~\to~v=\sqrt{0+9}=3[/tex]
[tex]u=1~\to~v=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}[/tex]
[tex]---------------[/tex]
[tex]\displaystyle{A=\frac{3}{2}\pi\int\limits^{\sqrt{10}}_3 {(v^2-9)^2v} \, (2vdv) }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=3\pi\int\limits^{\sqrt{10}}_3 {v^2(v^4-18v^2+81)} \, dv }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=3\pi\int\limits^{\sqrt{10}}_3 {(v^6-18v^4+81v^2)} \, dv }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=3\pi\left ( \frac{1}{7}v^7-\frac{18}{5}v^5+27v^3 \right )\Bigr|^{\sqrt{10}}_3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=\frac{3}{35}\pi\left ( 5v^7-126v^5+945v^3 \right )\Bigr|^{\sqrt{10}}_3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=\frac{3}{35}\pi\left [ \left ( 5(\sqrt{10})^7-126(\sqrt{10})^5+945(\sqrt{10})^3 \right )-\left ( 5(3)^7-126(3)^5+945(3)^3 \right ) \right ] }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=\frac{3}{35}\pi\left ( 5000\sqrt{10}-12600\sqrt{10}+9450\sqrt{10}-10935+30618-25515 \right ) }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=\frac{3}{35}\pi\left ( 1850\sqrt{10}-5832 \right ) }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=\frac{6}{35}\pi\left ( 925\sqrt{10}-2916 \right ) }[/tex]
.
KESIMPULAN
Luas permukaan benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x³, 0 ≤ y ≤ 1 jika diputar terhadap sumbu y adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{\frac{6}{35}\pi\left ( 925\sqrt{10}-2916 \right )~satuan~luas} }[/tex].
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Mencari luas permukaan bola : https://brainly.co.id/tugas/47437940
- Mencari luas permukaan sikloda : https://brainly.co.id/tugas/36981610
- Mencari titik berat kurva : https://brainly.co.id/tugas/47427349
- Mencari panjang busur kurva : https://brainly.co.id/tugas/46515229
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 11
Mapel: Matematika
Bab : Integral Tak Tentu
Kode Kategorisasi: 11.2.10
Kata Kunci : integral, luas, permukaan, benda, putar.
[answer.2.content]
